Warum sind Sachen unrund?
Why are things unround?


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Unrundes in Kultur und Technik / Unround things in culture and technology
Packungen, Parkettierungen / Packings, Tilings
26.11.2010

Beispiele / Examples:
Pflaster und Kacheln / Pavements and tiles
Mauerwerk, Ziegel / Bricks, brick-workl
Penrose-Parkettierungen / Penrose tilings

In der Natur gibt es Packungen von gleich großen und gleich geformten Elementen vor allem im atomaren Bereich. Solche Packungen sind periodisch und deshalb entstehen gerade Reihen und Ebenen. In der Kristallographie hat man sich damit befasst, wie solche Bausteine zueinander angeordnet werden können. Die Art der Anordnung nennt man ein Gitter. Man hat gefunden, dass es nur eine bemerkenswert kleine Zahl von Grundtypen solcher Gitter gibt. Im Dreidimensionalen gibt es 14, die man "Bravaisgitter" nennt (nach dem Begründer der Kristallografie Auguste Bravais, 1811-1863). Im Zweidimensionalen gibt es nur 5, die manchmal "zweidimensionale Bravaisgitter" genannt werden.
In nature, packings of equally shaped and sized elements are mainly found in the atomic range. Such packings are periodic and form straight rows and planes. In crystallography one has investigated in which way such elements can be arranged. Each type of arrangement is called a lattice. One has found that there exists a remarkably small number of fundamental lattice types. In three dimensions there exist 14 which are called "Bravais-lattices" (after the originator of crystallography Auguste Bravais, 1811-1863). In two dimensions there are only 5 ones which sometimes are called "two-dimensional Bravais-lattices".

Die fünf zweidimensionalen Bravais-Gitter.
The five twodimensional Bravais lattices: quadratic, rectangular, centered rectangular, hexagonal and oblique.

Neben der Bezeichnung (quadratisch usw.) ist jeweils die "Einheitszelle" des Gitters gezeichnet. Sie können in den Richtungen der Einheitsvektoren a und b beliebig oft aneinander gesetzt werden und ergeben dadurch das Gitter. Die Punkte symbolisieren einen Baustein, z.B. seine Mitte oder die linke untere Ecke, in jedem Fall denselben Punkt bei jedem Baustein. Diese Bausteine können durchaus eine von der einfachen Einheitszelle abweichende Form haben. Beispiele sind jeweils rechts gezeigt. Einzige Bedingung ist, dass die Bausteine die Fläche füllen können. Der Baustein kann auch aus zwei oder mehreren Unterbausteinen bestehen, die man gemeinsam die "Basis" des Bausteins nennt. Beim hexagonalen Gitter sind zwei Beispiele gezeichnet, das linke ist so ein Fall. Die Basis besteht aus einem blauen Kreis und zwei kleinen

roten Restflächen. Dies stellt eine hexagonal dichte Kreispackung dar. Die Periode des ganzen ist aber trotzdem durch die schwarze Raute gegeben.
Right to the assignment (quadratic etc.) is shown the "unit-cell" of the respective lattice. The unit cells can be repeated in the directions of the unit vectors a and b and in this way form the lattice. Each dot represent a building block, e.g. its center or its lower left corner, in any case the same point of each building block. The building blocks may have a shape different to that of the unit cell. Examples are shown to the right. Only condition is that they fill the area. A building block may even consist of two or more subunits which together are called the "basis" of the building block. For the hexagonal lattice, two examples are shown, the left one is such a case. The basis consists of a blue circle and two small red rest areas. This lattice represents hexagonal close packing of circles. The period is still given by the black rhomb.

Alle Einheitszellen außer die der zentrierten Rechteckstruktur sind "primitiv", das heißt, sie enthalten pro Einheitszelle nur einen Gitterpunkt. Bei der zentrierten Rechteckstruktur ist in grau eine rechts angrenzende zweite Gitterzelle gezeichnet. Man kann dann die eigentliche primitive Einheitszelle dieser Struktur sehen (schwarz gestrichelt). Es ist eine Raute. Um die besondere Eigenschaft dieses Gitters, nämlich den rechten Winkel, besser sehen zu können, zeichnet man aber lieber das zentrierte Rechteck. Auch die Einheitszelle der hexagonalen Struktur ist eine Raute, allerdings mit der Besonderheit, dass die Winkel 60° bzw. 120° sind. Nur mit dieser Einheitszelle lassen sich hexagonale Strukturen abbilden, die ja häufig sind, weil dichte Kugelpackungen eine hexagonale Grundstruktur enthalten.
All but the centered rectangular unit cell are "primitive" which means that they contain only one dot (or building block). For the centered rectangular structure, a second unit cell is added in gray. In this way one can see the true primitive unit cell (black dashed) which is a rhomb. In order to see the special property of this lattice better, which is the right angle, one prefers to use the centered rectangle. Also the unit cell of the hexagonal lattice is a rhomb, but a special one with the angles 60° and 120°. Only with this unit cell one can form hexagonal structures which are frequent because close-packing of spheres contains a hexagonal basic structure.

Flächenfüllende Packungen, also Parkettierungen, enthalten immer eckige Bausteine. Bei der zentrierten Rechteckstruktur und bei der hexagonalen Struktur enthält das eine Beispiel vollständig eckige, das andere aber teils runde Bausteine. Aber ganz ohne Ecken (im Dreidimesionalen Ecken und Kanten) geht es nie. Regelmäßige Parkettierungen haben die Menschen seit Urzeiten beschäftigt. Wer mehr dazu lesen will, soll mal das Internet nach den Begriffen "Parkettierung" oder englisch "Tiling" durchsuchen. Früh hat man gefunden, dass es zwar unendlich viele Formen von Bausteinen gibt, aber nur wenige Symmetrien der Packung oder Parkettierung als ganzes. Nämlich nur genau die fünf, die durch die Bravais-Gitter der Ebene repräsentiert werden. Man kann Packungen ohne Rotationssymmetrie herstellen (schräg) oder mit zweifacher (rechteckig, rechteckig zentriert), dreifacher (Unterform von hexagonal), vierfacher (quadratisch) und sechsfacher (hexagonal) Rotationssymmetrie. Eine höhere Rotationssymmetrie gibt es bei Packungen nicht. Und es gibt keine Fünffachsymmetrie. Symmetrische Fünfecke lassen sich nicht zu einer dichten Parkettierung zusammenfügen.
Plane-filling packings or tilings contain always building blocks with corners. They may have curved edges (like the left example for the centered rectangular structure) but totally without corners (in three dimensions corners and edges) is not possible. People have dealt with regular or peridic tilings for ages. You will find a lot when searching the internet after "tiling". One soon has found that there exist indefinitely many different shapes of tiles but only very few symmetries of the tiling, namely exactly those five which are represented by the Bravais-lattices of the plane. One can form tilings without rotation symmetry (oblique) or with twofold (rectangular, centered rectangular), threefold (special case of hexagonal), fourfold ( quadratic) and sixfold (hexagonal) rotation symmetry. Higher rotation symmetries do not exist for tilings. In particular, fivefold symmetry does not exist either. Symmetric pentagons cannot be packed densely.

Deshalb war man sehr erstaunt, als man in den 1980-er Jahren mit Beugungsmethoden Kristalle fanden, die scheinbar eine Fünffach-Symmetrie aufwiesen. Sie wurden Quasikristalle genannt. Man erkannte bald, dass die atomare Anordnung Analogien zu den sogenannten Penrose-Parkettierungen (Penrose tiling) hat. Roger Penrose hatte Parkettierungen gefunden, die aus minimal zwei Sorten von Kacheln bestehen und dichte Flächenparkettierungen zulassen, die aber im strengen Sinn nicht periodisch sind.
Therefore people got very surprised in the 1980's fo find crystals which seemed to show fivefold symmetry when using diffraction methods. These crystals were called quasi-crystals. One recognized soon that the atomic arrangement was analogous to the so-called Penrose tilings. Roger Penrose had found tilings which consisted of at least two sorts of tiles and allow dense filling of the plane without being really periodic.

Um Missverständnissen vorzubeugen: Unregelmäßige Packungen aus verschieden großen und verschieden geformten Bausteinen gibt es in Massen: Kiesel im Flussbett, Sedimente, Natursteinpflasterungen, Smarties im Glas, überhaupt alle Schüttungen. Fast nie sind diese Packungen aber wirklich Flächen- bzw. Raum-füllend. Bei Parkettierungen geht es um Flächen- bzw. Raumfüllung mit identischen Bausteinen oder wenigstens wenigen Sorten von Bausteinen mit jeweils identischer Form.
In order to avoid misunderstandings: Irregular packings of units of different sizes and shapes exist everywhere: Pebble, sediments, natural stone pavements, smarties and all kinds of poured goods. Almost never the resulting packing is really area- (or space) -filling. Tiling deals with filling of area (or space) with identical building blocks either of one kind or with a small set of different units each of identical shape.

Beispiele / Examples:
Pflaster und Kacheln / Pavements and tiles
Mauerwerk, Ziegel / Bricks, brick-workl
Penrose-Parkettierungen / Penrose tilings


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